定义2.2(脱殊多宇宙的真)对任意zfc的可数传递模型m，和对任意集合论语言中的语句σ，我们称

    σ是m-脱殊多宇宙真的，当且仅当它在vm的每个模型中都真，记作vm╞σ;

    是m-脱殊多宇宙假的当且仅当vm╞┐σ;

    σ是m-脱殊多宇宙无意义的当且仅当vm╞／σ并且vm╞／-σ。

    特别地，如果σ在由v生成的脱殊多宇宙中为真，则称σ是脱殊多宇宙真的，记作v乍口。其他概念类似。

    根据推论1.4，如果vm的每个模型都满足“w是真类”，则pd是m脱殊多宇宙真的，根据定理1.5，对任意m，ch都是脱殊多宇宙无意义的。这看起来使得脱殊多宇宙立场比形式主义更精致，也更合理。似乎也在一定程度上回应了武丁的挑战。但是，武丁又通过一系列的数学工作论证了脱殊多宇宙立场难以成立，这需要定义武丁的Ω逻辑以及Ω猜想。

    回忆一下，对任给结构『？』，『？』的理论定义为:

    th(『？』)={σ|zfc╞“『？』σ”}。

    仿此，我们定义任意结构烈在脱殊多宇宙真理观下的理论为:

    thm(『？』)={σ｜╞“『？』╞σ”}

    对任意语句σ，形如“对任意无穷序数α，vα╞σ”的断言是ll2断言。事实上，脱殊多宇宙的真理概念只适用于ll2语句，这是因为我们在定义脱殊多宇宙真理概念时只允许使用集合力迫。令是最小的武丁基数，则h(时)卜σ和h(时)fσ都是ii2断言。因此，如果令

    mll2={σ｜v╞σ并且σ是ii2语句}

    为所有ii2多字宙真语句的集合，则thm(h(δ0+))在集合mll2中是递归的。但是，仿照塔斯基的真理不可定义性，相反的方向应该不能成立，人们把它总结成:第一多宇宙定律

    所有i2多宇宙真语句的集合mll2在h(δ0+)的脱殊多宇宙理论thm(h(δ0+))中不是递归的。这一定律要求不能把整个集合宇宙中的所有ii2真理，更不必说所有真理，归结为集合宇宙的一个片段h(δ0+)中的真理。这是一个合理的要求，因为如果脱殊多宇宙的模型类中只有v一个模型，则以上定律是显然成立的。

    称一个集合yvw是借助多宇宙在h(δ0+)中可定义的，如果y在多宇宙模型类的每个模型中都是在h(δ0+)中可定义的。出于同样的哲学考量，还可以有:第二多宇宙定律所有ii2多宇宙真语句的集合m2不是借助多宇宙能在h(δ0+)中可定义的。如果脱殊多宇宙的真理观不能满足以上两条定律，那它与形式主义在根本哲学立场上就是一致的，即:

    把整个集合宇宙的真归结为这个宇宙的某个清晰片段的真。

    形式主义者把集合宇宙的真理归结为zfc的定理，也就是归结为数论中的真，而脱殊多宇宙立场则是把集合宇宙的(li2)真理归结为h(δ0+)，全体基数不超过最小武丁基数的集合。哥德尔借用他的不完全性定理，曾对形式主义的这一立场做过令人信服的反对。[3])而武丁则同样令人信服地证明，以上形式的脱殊多宇宙立场必然违反这两个定律，所以与形式主义的真理观并无根本差别。

    定义2.3(武丁，1999)假设t是集合论语言中的可数理论，σ是集合论语言中的语句，我们定义σ是t的Ω-逻辑后承，记作t╞Ωσ，当且仅当对任意完全布尔代数b，对任意序数α，如果vb╞t，则vb╞σ

    定理2.4(武丁，1999)假设w是真类，并且假设t是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数b

    t╞Ωσ当且仅当vb╞“t╞Ωσ”。

    这就是说，假设存在武丁基数的真类，Ω-逻辑后承关系是脱殊绝对的。特别地，全体Ω-逻辑有效式的集合vΩ={σ｜╞Ωσ}不能被任何力迫改变。

    还注意到，假设w是真类，则mli2与vΩ具有同样的图灵复杂度，即，每个集合都在另一个集合中是递归的。同样，假设w是真类，则集合vΩ(h(δ0+))={σ丨zfc=σ“h(δ0+)╞σ”}恰好就是thm(h(δ0+))。为了定义Ω逻辑的证明，我们需要回忆一些概念。一个拓扑空间是紧致的当，且仅当它的任意覆盖都有有穷子覆盖;它是豪斯道夫(hausdorff)空间当且仅当它的任意两个不同点都有不相交的邻域。令s为紧致的豪斯道夫空间，称xs在s中有贝尔性质当且仅当存在开集os使得对称差x△o在s中是贫乏集(meagerset).

    定义2.5(冯琦、麦基道、武丁，1992)一个实数的子集a具有通用贝尔性质当且仅当对任意紧致豪斯道夫空间s，任意连续映射f:s→r，a在s下的原象具有贝尔性质。

    定义2.6(武丁，1999)假设ar具有通用贝尔性质，m是zfc的传递模型。称m是强a-封闭的当且仅当对任意n，如果n是传递的且是m的脱殊扩张，则ann∈n

    定义2.7(武丁，1999)假设w是真类。假设t是可数理论，σ是语句，则t├Ωσ当且仅当存在ar:

    1.a是通用贝尔集;

    2、对任意可数传递模型m，若m是强a-封闭的且t∈m，则m╞“t╞Ωσ”。

    定理2.8(武丁，1999)假设w是真类，并且假设t是可数理论，σ是语句，则对任意完全布尔代数b，

    t├Ωσ当且仅当vb╞“t╞Ωσ”。

    定理2.9(武丁，1999)假设w是真类。如果t├Ωσ，则t╞Ωσ。

    几猜想假设w是真类。对任意语句σ，╞Ωσ当且仅当├Ωσ

    叙述了什么是几猜想，我们就可以回到武丁的回应上了:

    定理2.10假设w是真类且几猜想成立，则vn在集合vΩ(h(δ0+))中是递归的。根绝前面的分析，这实际上是说脱殊多宇宙立场违反了第一多宇宙定律。而下面的定理则是说，这一立场同样违反第二多宇宙定律。

    定理2.11假设w是真类并且Ω猜想成立，则v在集合h(δ0+)中可定义。所以，脱殊多宇宙真理观不过是一种更为精致的形式主义。当然，这种站在柏拉图主义立场上的挑战要依赖于Ω猜想的成立与否。接下来我们讨论一些更新的进展，它们似乎在某种意义上暗示这个猜想是真的。

    3终极l理论

    Ω猜想如果不成立，那一定是因为某个大基数公理，而且这个大基数公理超出了现有内模型计划。所谓“内模型计划”指的是构造一个类似于l的模型，在其中某个大基数公理成立。这项研究计划的动机源自于斯科特(d.scott)的以下定理:

    定理3.1(斯科特，1961)假设存在一个可测基数，则v≠l。

    也就是说，哥德尔的l不能容纳可测基数，当然也不能容纳更大的基数。所以，这样的问题自然就被提了出来:

    是否存在一个类似于l的模型，它能容纳可测基数或更大的基数

    很快，库能(k.kunen)证明了

    定理3.2(库能，1970)假设u是k上的k完全的正则非主超滤，则在l[u]中，k是一个可测基数，并且是唯一的可测基数

    这实际地开启了内模型的研究计划，并且在随后的年代里，这个计划取得了相当的成功。目前人们已经能够构造可以容纳强基数的内模型。

    但是，Ω猜想与已有的具有内模型的大基数都是相容的，所以要证明它不成立，我们需要容纳更大无穷的内模型。不唯如此，能证明Ω猜想不成立的大基数公理一定在大基数层谱中处于一个十分关键的位置，这一位置必定会有“来自内模型理论的证据”。(参见[9])

    另一方面，如果Ω猜想在所有已知的大基数公理下都成立，那就是猜想在v中成立的强烈依据。而武丁有关终极l的研究表明，所有的证据都显示，没有任何已知的大基数公理会否证猜想。我们以下简述这一重要的思想。(在以下的讨论中，所有未注明的定理和定义都属于武丁。)

    如果存在可测基数，则v≠l，所以l虽然具有很好的结构性质，并且v=l可以解决包括ch在内的独立性问题，但它不可能是新公理的候选，l与v相差太远了。库能的l[u]可以容纳可测基数，在这个意义上比l更接近v。但是，l［u]中只有一个可测基数，它甚至不能容纳第二个可测基数，更不必说更大的基数了。所以，最终的任务就成了构造一个可以容纳所有大基数的类l结构，人们将这样的结构称为“终极l”。这看起来是不能完成的任务，因为在构造容纳大基数的内模型的过程中，人们发现每向上一步，都只能得到仅仅包含一个相应大基数的模型，要想容纳所有的大基数，我们有无穷多个内模型需要构造。但是，武丁的一个重要发现彻底改变了这种情形，这又需要一些新的数学定义:

    定义3.3假设n是一个zfc的模型，δ是一个超紧基数，如果对任意λ＞δ，存在pδ(λ)一个δ-完全的正则精良超滤u满足:

    (1)pδ(λ)nn∈u;

    (2)unn∈n，

    就称n是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型(weakextendermodel)。

    弱扩张子模型之所以重要，是因为它有我们需要的性质。首先，它十分接近v。就我们目前的问题而言，这意味着它有正确的基数概念。

    定理3.4假设n是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型，并且在n中，λ＞δ是正则基数，则在v中，cf(λ)=|λ|。特别地，如果λ在v中依然是基数，则它在v中是正则的。

    推论3.5假设n是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型，并且在v中，γ＞λ是奇异基数，则

    (1)λ在n中是奇异基数;

    (2)(γ+)n=γ+，即n能正确地计算奇异基数的后继。

    不仅如此，与以往的内模型不同，弱扩张子模型可以容纳任意多的可测基数。

    推论3.6假设n是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型，并且在v中，k＞δ是奇异基数，则k在n中是可测基数。

    事实上，弱扩张子模型可以容纳δ以上的所有大基数!

    定理3.7(普遍性)假设n是关于δ是超紧基数的弱扩张子模型，并且在v中，γ＞δ是正则基数，并且

    π:(h(k+))n→(h(π(k)+))n

    是一个初等嵌入，并且crt(π)＞δ，则π∈n。

    也就是说，v中δ以上的大基数都在n中保持为δ以上的大基数。这不能不说是一个令人惊奇的结果。

    但是，弱扩张子模型是否存在呢到目前为止它只是一个抽象的概念。但有一些数学“证据”暗示其存在。

    定理3.8(詹森，1974)l或者非常接近v或者离v很远。即以下二者必居其一:(1)对任意v中的奇异基数γ，γ在l中是奇异基数，并且(π+)l=γ+;(l非常接近v。)

    (2)每个不可数基数在l中都是不可达的。(l与v相差很远。)

    武丁则得到了关于hod的类似结果。

    定理3.9假设k是可扩张基数，则hod或者非常接近v，或者(在k以上)离v很远。即以下二者必居其一

    (1)对任意v中的奇异基数，γ在hod中是奇异基数，并且(γ+)hod=γ+;(2)所有大于k的正则基数在hod中都是w-强可测基数。

    假设存在可扩张基数，则无论哪种情况成立，hod中都存在一个可测基数。因为如果(1)成立，则hod是r是超紧基数的弱扩张子模型，r显然是hod中的可测基数。而如果(2)成立，则更是显然。

    hod猜想hod接近v，或者说，在zfc内可以证明:在hod中，{δ|δ是正则基数但不是w-可测基数}是一个真类。

    如果hod猜想成立，则hod是一个弱扩张子模型，反之亦然。

    定理3.10假设k是一个可扩张基数，则以下命题等价:

    1.hod猜想成立;

    2.hod是k是超紧基数的弱扩张子模型。

    那么，hod猜想是否成立呢它会不会像ch本身一样是独立的呢从目前的证据来看，这似乎不可能。因为武丁证明，hod猜想是脱殊绝对的:如果hod猜想在v中成立，则它在v的所有脱殊扩张中都成立。所以不可能用力迫法证明hod猜想的独立性，而力迫法又几乎是唯一证明独立性的手段。

    还有一些支持hod猜想的证据，目前已经知道的是以下这点与zfc一致:w1和w2在hod中是w-强可测基数。但是，我们甚至不知道hod中是否能够容纳4个w-强可测的正则基数;也不知道对任意奇异基数γ，γ+是否是hod中的w-强可测基数;更不知道是否存在超紧基数以上的w-强可测的正则基数。

    如果hod猜想成立，则hod包含了一个弱扩张子模型，而这样的模型可容纳所有已知的大基数，因此是某种意义上的“终极l”模型。武丁还提出了这样一种设想，即，在不知道如何构造“终极l”的情况下，我们仍可以叙述公理!“v=终极l”

    v=终极l公理

    公理“v=终极l”包括以下命题:

    (1)存在武丁基数的真类w;

    (2)对任意∑3-语句p，若p在v中成立，则存在一个通用贝尔集acr，使得

    hodl(a，r)nvθl(a.r)╞p

    终极l猜想假设k是可扩张基数，则存在模型n满足;

    (1)n是k是超紧基数的弱扩张子模型;

    (2)nhod;

    (3)n╞“v=终极l”

    定理3.11假设终极l猜想成立，则:

    1.ch成立;

    2.v=hod;

    3.Ω猜想成立。

    这样，我们可以合理地认为，如果终极l猜想成立，那它一定会在两个方向上为数学中的柏拉图主义辩护。首先，它证明Ω猜想成立，而根据第二节的分析，这从根本上拒绝了多宇宙的真理观。因为，在Ω猜想成立的情况下，脱殊多宇宙真就可归结为h(δ0+)中的真，这本质上与形式主义将真归结为在zfc中可证是一样的。正如我们已经指出的，这种对真理的看法无法说明这样的问题:为何一些独立性命题是无意义的而另一些不是

    其次，如果终极l存在，那zfc的众多模型中就有一个非常特殊的。它不仅可以容纳所有已知的大基数，而且具有很好的结构性质从而解决所有的自然的独立性问题。同时，在“终极l中为真”对于集合力迫又是免疫的，从而不能用通常的力迫证明其独立性。终极l的这种特殊性自然需要哲学上的解释。武丁多次强调，这种特殊性源自它十分接近v，那个真实的集合论宇宙。除了这种柏拉图主义的解释，我们暂时看不到任何其他的哲学立场能够做到这一点。